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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA
DOS MUESTRAS
EJERCICIO 1
En un estudio reciente se comparó el tiempo que pasa juntos los matrimonios en los que solo una persona trabaja, con las parejas en las que ambos trabajan. De acuerdo con los registros elaborados por las esposas durante el estudio, la cantidad media de tiempo que pasan juntos viendo televisión las parejas en las que solamente el esposo trabaja es 61 min. Por día, con desviación estándar 15,5.En los matrimonios donde los dos trabajan, la cantidad media de minutos ante el televisor es 48.4, con desviación estándar 18,1 min. Al nivel significancia 0,01, ¿se puede concluir que, las parejas en las que solamente unos de los cónyuge trabaja, pasa el promedio mayor tiempo juntos viendo la televisión? Se estudiaron 15 parejas en las que solo un cónyuge trabaja y 12 en las que ambos lo hacen.
DATOS :
u1 = 61 u2 = 48,4
s1 = 15,5 s2 = 18,1
n1 = 15 n2 = 12
1. Planteamiento de hipótesis
2. Nivel de significancia
∞ = 0,01
gl = 15 + 12 - 2 = 25
t = 2,485
3. Valor del estadístico de prueba
Utilización de la distribución t por tener muestras pequeñas.
4. Formular la regla de decisión
5. Cálculo de resultados y tomar la decisión
Como el valor t de 5,048 es mayor a t crítico que es de 2,845 se rechaza la Ho y se acepta la H1, entonces se dice que las parejas en donde los cónyuges trabajan es mayor al tiempo juntos que ven televisión.
EJERCICIO 2
Una organización llevo a cabo dos encuestas idénticas en 1990 y en 2000. Una de las preguntas planteadas a las mujeres eran “¿la mayoría de los hombres son amables, atentos y gentiles?”. En 1990, de 3000 mujeres interrogadas, 2010 dijeron que si. En 2000, 1530 de las 3000 encuestas contestaron afirmativamente. Al nivel de significancia 0,05, ¿puede concluirse que en el año 2000 las mujeres creen que los hombres son menos amables, atentos y gentiles que en el 1990?
Datos:
1990 2000
X= 2010/3000 = 0,67 X = 1530/3000=0,51
n = 3000 n = 3000
1. Planteamiento de hipótesis
2. Nivel de significancia
∞ = 0,05
3. Valor del estadístico de prueba
Utilización de la distribución Z por tener muestras grandes
4. Formular la regla de decisión
5. Cálculo de resultados y tomar la decisión
Como el valor Z es 12,70 es mayor a Z crítico que es de 1,64 se rechaza la Ho y se acepta la H1, se dice que en el año 2000 la proporción de los hombres serán menos amables, atentos y gentiles que en el año 1990.
EJERCICIO 3
El departamento de investigaciones de una compañía de seguros investiga continuamente las causas de los accidentes automovilísticos, las características de los conductores, etc. En una muestra de 400 pólizas de seguros que adquirieron personas solteras, se encontró que 120 habían tenido por lo menos un accidente en los últimos 3 años. De manera similar, en una muestra de 600 pólizas de personas casadas se encontró que 150 habían tenido por lo menos un accidente. Al nivel de significancia 0,05 ¿hay una diferencia significativa entre las proporciones de las personas solteras y casadas que tuvieron algún accidente en los últimos 3 años.
Datos:
X = 120 / 400 = 0,3 X = 150/600=0,245
n = 400 n = 600
1. Planteamiento de hipótesis
2. Nivel de significancia
∞ = 0,05
3. Valor del estadístico de prueba
Utilización de la distribución Z por tener muestras grandes
4. Formular la regla de decisión
5. Cálculo de resultados y tomar la decisión
Como el valor Z es 1,92 es menor a Z crítico que es ±1,96 se acepta la Ho y se dice que la proporción de personas solteras y la proporción de personas casadas que tuvieron algún accidente en los tres últimos años es igual.
Ejercicios: Prueba de hipótesis para proporciones
EJERCICIO 1
El expendio Pollos Deliciosos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos?
EJERCICIO 2
Un artículo reciente, publicado en el diario USA today, indica que solo a uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de su universidad, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,02, que en su universidad la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor?
EJERCICIO 3
A una muestra a nivel nacional (en Estados Unidos) de ciudadanos influyentes de los partidos republicano y demócrat, se les preguntó entre otras cosas, si estaban de acuerdo con ladisminución de los estándares ambientales para permitir el uso del carbón con alto contenido de azufre como combustible. Los resultados fueron:
| Republicanos | Demócratas |
|
Cantidad muestreada 1000 Cantidad a favor 200 |
800 168 |
Al nivel de significancia 0,02, puede decirse que hay una proporción mayor de Demócratas a favor de reducir los estándares?
EJERCICIO 4
Harry Hutchings es propietario de un gimnasio y afirma que la ingestión de ciertas vitaminas aumente la fuerza corporal. Se seleccionan aleatoriamente 10 estudiantes atletas y se les aplica una prueba de fuerza muscular. Después de dos semanas de tomar las vitaminas y de entrenamiento se les aplica nuevamente la prueba. Los resultados se muestran a continuación:
EJERCICIO 5
El servicio norteamericano de peces y vida salvaje etiquetaba salmones que desovaban en el río Hood cerca de Seattle para determinar sus características migratorias. El servicio pensaba que el 40% de los peces volvían allí cada año:
b) Calcular el valor de p asociado con estos datos
0,5 – 0,3186 = 0,1814, por lo que se tiene una fuerte evidencia de que la hipótesis nula no es verdadera.
c) Calcular la probabilidad de cometer un error de tipo ll si la proporción verdadera es 0,38
EJERCICIO 6
Con los datos del problema anterior, si el servicio mantuviera la hipótesis de que más del 40% de los peces regresaban cada año, ¿cuáles serían sus respuestas a las partes a), b) y c)?
b) Calcular el valor de p correspondiente a estos datos
0,5 – 0,3186 = 0,1814, por lo que se tiene una fuerte evidencia de que la hipótesis nula no es verdadera.
c) Calcular la probabilidad de cometer un error de tipo ll si la proporción verdadera es 0,38
EJERCICIO 7
Un estudio realizado por Retail Management reveló que 131 de 468 mujeres pagaron sus compras al pormenor con una tarjeta de crédito concreta, mientras que de 237 hombres 57 utilizaron la misma tarjeta
a) ¿Hay datos indicadores de una diferencia en la proporción de mujeres y hombres que utilizan esa tarjeta? Sea α = 0.05
b) Supongamos que la hipótesis fuera que π w> π M
c) Supongamos que la hipótesis fuera que la proporción de mujeres era como mínimo tan grande como la de hombres
Si la proporción de mujeres es tan grande como el de los hombres se acepta la hipótesis nula y se dice que puede ser menor o mayor tanto de hombres como de mujeres.
d) Formulemos la hipótesis de que la proporción de mujeres supere a la de hombres en más del 1.5%
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Ejercicios: Prueba de hipótesis para una y dos muestras
EJERCICIO 1
Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos ( en libras).
| 4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39 |
En el nivel 0,01, el aditivoa ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el valor de p.
EJERCICIO 2
Una empresa que se dedica a hacer en cuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma más moderna de realizar las encuetas y la empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una muestra aleatoria de agentes son:
| 53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60 51 59 56 |
En el nivel de significancia 0,05, puede concluirse que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es superior a 53 por semana? Evalúe el valor p.
EJERCICIO 3
Lisa Monnin es directora de presupuesto en la empresa New Process Company, desea comparar los gastos diarios de transporte del equipo de ventas y del personal de cobranza. Recopiló la siguiente información muestral ( importe en dólares).
|
Ventas ($) 131 135 146 165 136 142 Cobranza ($) 130 102 129 143 149 120 139 |
Al nivel de significancia de 0,10, puede concluirse que los gastos medios diarios del equipo de ventas son mayores? cuál es el valor p?
EJERCICIO 4
De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04.
| Ho: u1 = u2 |
| Ho: u1 ≠ u2 |
a) Es esta una prueba de una o de dos colas?
Esta es una prueba de hipótesis de dos colas
b ) Establezca la regla de decisión
Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa
c) Calcule el valor del estadístico de prueba
| Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 |
d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?
Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa
Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05
e) Cuál es el valor p?
Z = 2,59 Area 0,4952
0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096
EJERCICIO 5
El rector de cierta universidad piensa que durante los últimos años, la edad promedio de los estudaintes que asisten a esta institución ha cambiado. Se realiza un estudio en que se mide la edad de 150 alumnos elegidos al azar entre todos los estudiantes de este centro de educación superior. La edad promedio es de 23,5 años. Un censo realizado en la universidad, unos cuantos años antes del estudio, revelo una edad promedio de 22,4 años; con una desviación estándar de 7,6. Utilice un nivel de significancia del 0,05.
a. Cuáles son las hipótesis?
b. Determine los intervalos de confianza para el 95%
c. Realice el contraste de las hipotesis. Cuál es su conclusión?
EJERCICIO 6
Se lleva a cabo un estudio para comparar la eficacia de dos métodos de enseñanza de un tema sobre estadistica:
A. Conferencias en el grupo
B. Asesoria personalizada
Se seleccionan al azar 10 estudiantes de la misma escuela y el mismo ciclo. Posteriormente se aplica un examén y se obtiene las siguientes puntuaciones:
a. Elabore las hipotesis
b. Realice el análisis de varianza. Utilice el nivel de significancia del 0,05
c. Contraste las hipotesis e interprete los resultados
EJERCICIO 7
News & World Report publicó un artículo sobre la carrera de éxitos de Wal-Mart. Actualmente es la mayor cadena de venta al por menor de la nación. Empezó con una sola tienda de descuento en la pequeña localidad de Rogers, Arkansas, y ha crecido hasta poseer 1,300 tiendas en 25 estados. Este éxito le ha valido a Sam Walton, fundador y mayor accionista, el título de hombre más rico de América. Las ventas anuales se cifran en 15 millones de dólares por tienda
EJERCICIO 8
Si se elige al azar una muestra de 120 tiendas y se hallan una ventas medias de 15.39 millones de dólares, con una desviación típica de 2.9 millones de dólares, ¿está respaldada la hipótesis de μ= 15 millones al nivel de significación del 10%?
b) Calcular el valor de p asociado con estos datos
0,5 – 0,4332 = 0,0668, por lo que se tiene regular evidencia de que la hipótesis nula no es verdadera.
c) Si u es en realidad 14,8 millones de dólares, ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error de tipo ll?
EJERCICIO 9
Con las condiciones descritas en el problema anterior, calcular de nuevo las partes a), b) y c) si la estimación de ventas se ha expresado así: los ingresos no superan 15 millones de dólares por tienda
b) Calcular el valor de p asociado con estos datos
0,5 – 0,4332 = 0,0668, por lo que existe regular evidencia de que la hipótesis nula no es verdadera.
c) Si u es en realidad 15 millones de dólares, ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error de tipo ll?
EJERCICIO 10
Un número de abril de 1991 de la revista Fortune publicaba un artículo sobre la numerosa generación de adictos al trabajo, con edades entre 25 y 43 años, que ocupan puestos directivos en las empresas. El artículo comparaba la vida laboral de estos jóvenes ejecutivos que se han colocado en el camino del ascenso rápido en las empresas con la de los trabajadores que dedican menos tiempo a su trabajo. Mientras que quienes siguen la moda de perseguir el éxito suelen trabajar 70, 80 o incluso 90 horas a la semana, lo típico es trabajar 60.
Los datos se recopilaron a partir de entrevistas con empleados de las empresas. Si clasificamos en el grupo 1 a los de ascenso rápido y en el grupo 2 a los que dedican menos tiempo a su trabajo, y suponemos que las entrevistas revelaron los datos estadísticos siguientes en relación con los programas de trabajo semanales.
b) Supongamos que queremos determinar si los pertenecientes al primer grupo trabajan más horas que la media de los pertenecientes al segundo
c) Un tercer enfoque de esta comparación es comprobar la hipótesis de que μ1 sea superior a μ2 en 10 horas.
EJERCICIO 11
Muchos estudios económicos se ocupan de sectores en los cuales una gran parte del dominio del mercado se concentra en manos de unas pocas empresas. Se teme que las empresas poderosas en sectores de tan alta concentración dominen el mercado con fines egoístas. Se emparejaron las empresas de nueve sectores concentrados con las de un número igual de sectores en los cuales el poder económico estaba más disperso. Se hicieron coincidir las empresas de cada grupo en cuanto a competencia extranjera, estructuras de coste y de todos los demás factores que pueden afectar a los precios industriales.
A continuación se indican los incrementos medios del precio en porcentajes de cada sector. Al nivel del 5%, ¿parece que los sectores concentrados presentan una presión inflacionista más pronunciada que los sectores menos concentrados?
EJERCICIO 12
Una empresa de sondeos prueba dos barrenas perforando pozos hasta una profundidad máxima de 112 pies y anotando el número de horas que requiere el proceso. La primera barrena se utilizó en 12 casos con un tiempo medio de Ẋ1 = 27.3 horas y s1 = 8.7 horas. Con la segunda se perforaron 10 pozos, obteniéndose un resultado de Ẋ2=31.7 horas y s2= 8.3 horas.
- ¿Parece que la primera barrena es más eficaz que la segunda? Pone α = 0.10.
b) Todos los pozos se perforaron con el mismo equipo y en el mismo suelo. Si por estos motivos o muchos otros que se pudieran citar la empresa de sondeos pensó que los tiempos tenían varianzas iguales, ¿cómo diferiría la prueba de la parte a)?
